Kymie Karina Silva Saito
Título
FUNÇÃO DE GREEN PARA A DIFUSÃO DE QUARTA ORDEM
Resumo
A formulação matemática do fenômeno de difusão pode ser descrita, em algumas situações, através de uma equação diferencial que leva em consideração efeitos complementares e diferentes daqueles simulados por meio da equação de Fick, usualmente adotada para representar o processo de difusão. Em especial, destacam-se problemas de difusão anômala com processo de transmissão de massa bimodal. Para melhor entender esse fenômeno físico, uma ferramenta potencial e natural é a construção da função de Green (FG). A FG para a equação governante de quarta ordem é investigada e obtida teoricamente com o uso das transformadas de Fourier e de Laplace, sendo, então, validada através de análise numérica por meio do método das diferenças finitas. Essa abordagem permite validar a solução analítica da FG transiente mediante o emprego de solução aproximada da EDP gerada por uma fonte impulsiva concentrada aplicada em um ponto nodal. Observa-se, através da FG do problema em questão, a existência do fluxo predominante, que é aquele representado pelo potencial da lei de Fick, e também outros possíveis microestados de excitação. Adicionalmente, explora-se, de forma exitosa, a modelagem via método dos elementos de contorno, usando a solução fundamental do problema permanente para determinar o campo de propagação a cada passo de tempo, que confirmou a derivação consistente e adequada da FG para a equação da difusão de quarta ordem.
Abstract
The mathematical formulation of the diffusion phenomenon might be described occasionally through a differential equation, which takes into account complementary and different effects with respect to the ones simulated with the support of the Fick´s equation, which is usually adopted to represent the diffusion process. In particular, anomalous diffusion problems with bimodal mass transmission are highlighted. To better understand this physical phenomenon, a potential and natural tool is the construction of the Green function (GF). The GF for the governing equation of fourth order is investigated and theoretically obtained with the use of Fourier and Laplace transforms, and then validated by means of a numerical analysis using the finite difference method. This approach allows to validate the analytical solution of the transient GF using the approximate solution of the partial difference equation generated by an impulsive source concentrated applied to a nodal point. Under this framework, it is possible to achieve the necessary precision in the numerical analysis when compared to the results generated by the analytical expression of GF. It is observed through the GF of the problem under study the existence of the predominant flux, which is the one represented by the potential of the Fick´s law, and also other possible microstates of excitation. In addition, we explored successfully the boundary element method using the fundamental solution obtained from the permanent problem to determine the propagation field at each step of time, which confirmed the consistent and adequate derivation of the GF for the fourth order diffusion equation.
