Anna Regina Côrbo Costa

Título

FORMULAÇÕES GALERKIN DESCONTÍNUO-CONTÍNUO PARA O PROBLEMA DE HELMHOLTZ

Orientador(es)

Webe João Mansur
Eduardo Gomes Dutra do Carmo

Resumo

Neste trabalho são propostas duas consistentes Descontínuo-Contínuo para o problema de Helmholtz: formulações Galerkin uma formulação Galerkin descontínua hibridizada (método HDG) que utiliza espaço traço contínuo e uma formulação Galerkin Descontínua-Contínua (método CDG) que utiliza uma componente contínua e outra descontínua acopladas. Para a formulação HDG, é apresentado a análise da condensação estática de onde concluímos que o sistema global gerado é menor que o sistema global de outros métodos híbridos já estabelecidos. Além disto, mostramos que o problema é bem posto a partir de um certo grau de renamento da malha. Para a formulação CDG, é introduzida uma formulação onde é utilizada uma forma bilinear de transferência de estabilidade que conecta internamente as componentes descontínua e contínua. Este mecanismo permite eliminar a componente descontínua em função da contínua o que torna o problema um problema bem-posto localmente contínuo. Nos experimentos numéricos, é vericado o custo computacional dos métodos HDG e CDG comparados com o custo da formulação Galerkin contínuo (CG) para um polinômio de aproximação xo e diferentes renamentos de malha. Os resultados numéricos demonstram que o método CDG é o mais robusto e com maior acurácia, apesar de ter um esforço computacional superior aos demais. Já o método HDG apresenta custo computacional similar ao esforço do método CG. No entanto, ele necessita de menos renamento de malha para se aproximar da solução exata. Por
fim, concluímos que cada método possui vantagens distintas porém ambos possuem grande potencial a ser ainda explorado.

Abstract

In this work, we propose two consistent Continuous-Discontinuous Galerkin formulations for the Helmholtz problem: a hybridized Discontinuous Galerkin formulation (HDG method) that works with a continuous trace space and a Continuous-Discontinuous Galerkin formulation (CDG method) that works with a continuous and a discontinuous component. For the HDG formulation, we present a static condensation analysis where we obtain a global system that is smaller than the global systems generated by other current hybrid methods. Furthermore, we show that the HDG formulation is a well-posed problem from a certain degree of mesh renement. For the CDG formulation, we present a formulation where a stability transfer bilinear form is used internally connecting the discontinuous and continuous components. This mechanism allows to eliminate the discontinuous component as a function of continuous component which which makes the problem a locally well-posed continuous problem. As numerical experiments, we present the computational time for the methods HDG and CDG compared with the computational time of a continuous Galerkin approach (CG) for a xed polynomial approximation and dierent mesh renements. Numerical results show that the CDG method is the most robust and accurate, despite having a computational eort higher than the others. The HDG method has a computational time similar to that of the CG method. However, it needs less mesh renement to converge to the exact solution. Finally, we conclude that each method has distinct advantages, but both have great potential to be explored.

 

Download