Felipe dos Santos Loureiro
Título
Generalização do método da aproximação explícita de green para a solução de equações parabólicas e hiperbólicas
Resumo
A presente tese tem como objetivo generalizar o m étodo da aproximação explícita de Green ExGA (“Explicit Green’s Approach”) aplicado as equações parabólicas e hiperbólicas. Utilizando o método dos resíduos ponderados t anto no tempo quanto no espaço, a expressão integral do método ExGA é estabelecida de forma geral. A função de Green é calculada numericamente empregando o método dos elementos finitos no esp aço e o método-θ no tempo, resultando em uma matriz de Green relativa ao modelo discreto. Subpassos de tempo são utilizados para aumentar a precisão da matriz de Green no instante de tempo t = Δt . Para reduzir o custo computacional relacionado ao cálculo da fu nção de Green para a equação hiperbólica, um novo método denominado método da aproximação de Green local LExGA (“Local Explicit Green’s Approach”) baseado no princípio da causalidade é proposto. O método LExGA calcula a função de Green localmente usando subdomínios com suas respectivas submalhas construídas em volta do ponto fonte para capturar somente os valores não-nulos inferidos pelo pr incípio da causalidade. Uma metodologia robusta baseado no princípio da conservação da en ergia é proposta para determinar o tamanho correto de cada submalha. Finalmente, para validar e mostrar as poten cialidades das formulações propostas, os resultados numéricos são comparados com aqueles obtidos pelos métodos clássicos existentes na literatura.
Abstract
The present thesis aims at generalizing the explicit Green’s approach (ExGA) method applied to parabolic and hyperbolic equations. By means of the w eighted residual method in both time and space, the integral expression of the ExGA method is established in a general way. The Green’s function is calculated by employing the finite element method in s pace and the θ -method in time, giving rise t o a Green’s matrix related to the discrete model. Time substeps are adopted to increase the precision of the Green’s matrix at time instant t = Δt . In order to reduce the computational cost concerning the Green’s function calculation for the hyperbolic equation, a new method called local explicit G reen’s approach (LExGA) based on t he causality principle is proposed. The LExGA method computes the Green’s function locally through the use of subdomains with their respective submeshes constructed around the source point to capture only the non-null val ues inferred by the caus ality principle. A robust methodology based upon the energy conservation is proposed to find the correct size of each submesh. Finally, in order to validate and show the potentialities of the proposed formulations, the nu merical results are compared with those obtained by classical methods found in the literature.
