Rodrigo Dias
Título
UMA FORMULAÇÃO PETROV-GALERKIN DESCONTÍNUO PARA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE HELMHOLTZ COM MINIMIZAÇÃO DO ERRO DE FASE
Resumo
A poluição do erro é uma fonte conhecida de imprecisões nas abordagens contínuas ou descontínuas de FE para resolver a equação de Helmholtz. Este tópico é exaustivamente estudado em um grande número de artigos, além de IHLENBURG e BABUSKA [1], IHLENBURG [2] e outras referências ali citadas. Metodologias robustas para malhas quadradas estruturadas foram desenvolvidas nos últimos anos. Este trabalho busca desenvolver uma metodologia baseada na formulação descontínua Petrov-Galerkin (PGD), a fim de minimizar o erro de fase para malhas estruturadas ou não estruturadas, aplicadas à equação de Helmholtz em meios homogêneos. Uma formulação Petrov-Galerkin FE é introduzida para o problema de Helmholtz em duas dimensões usando funções de ponderação polinomial. Em cada nó da malha triangular, uma função de base global para o espaço das funções de ponderação é obtida, acrescentando `as combinações bilineares C0 da função linear Lagrangiana de ponderação. As funções de ponderação ótima, com o mesmo suporte das funções de teste globais correspondentes, são obtidas após o cálculo dos coeficientes αnm dessas combinações lineares, atendendo aos critérios ideais. Isso é feito numericamente através de uma técnica de pré-processamento que é naturalmente aplicada a malhas uniformes e não estruturadas. Em particular, para malha uniforme, é obtido um estêncil interior quase ótimo da mesma ordem do método do elemento finito quase estabilizado, obtido por BABUSKA et al. [3]. Resultados numéricos são apresentados ilustrando a grande estabilidade e precisão desta formulação com malhas não uniformes e não estruturadas.
Abstract
Pollution error is a well known source of inaccuracies in continuous or discontinuous FE approaches to solve the Helmholtz equation. This topic is exaustivelly studied in a large number of papers as well as IHLENBURG e BABUSKA [1], IH- ˇ LENBURG [2] and others references inside there in and others references. Robust methodologies for structured square meshes have been developed in recent years. This work seeks to develop a methodology based on Discontinuous PetrovGalerkin formulation (DPG), in order to minimize phase error for structured or unstructured meshes applied for Helmholtz equation in homogeneous media. A Petrov–Galerkin FE formulation is introduced for Helmholtz problem in two dimensions using polynomial weighting functions. At each node of the triangular mesh, a global basis function for the weighting space is obtained, adding to the bilinear C 0 Lagrangian weighting function linear combinations. The optimal weighting functions, with the same support of the corresponding global test functions, are obtained after computing the coefficients α n m of these linear combinations attending to optimal criteria. This is done numerically through a preprocessing technique that is naturally applied to nonuniform and unstructured meshes. In particular, for uniform mesh a quasi optimal interior stencil of the same order of the quasi-stabilized finite element method stencil derived by BABUSKA ˇ et al. [3] is obtained. Numerical results are presented illustrating the great stability and accuracy of this formulation with nonuniform and unstructured meshes
