Adriano Maurício de Almeida Côrtes
Título
Isogeometric Analysis and Preconditioning Strategies for Divergence-Conforming Spline Discretizations for the Stokes Problem
Resumo
Nesse trabalho, apresentamos um estudo sobre Analise Isogeometrica, uma nova metodologia de discretização que tenta conectar o Projeto Assistido por Computador e a Analise de Elementos Finitos, sem precisar da geração de malha. Tal abordagem e baseada nas funções splines. Estas são funções polinomiais por partes com a propriedade adicional de terem suas regularidade facilmente controlada. Aproveitando tal fato, e possvel se propor novos esquemas de discretização desenvolvidos para preservar alguma propriedade espec ca. Esse e o caso das discretizacões divergente-conformes, que fornecem um par velocidade-pressão inf-supestavel, que pode ser usado diretamente para aproximar problemas de escoamentos viscosos incompressveis em formulações variacionais mistas. Adicionalmente, tal par garante que a velocidade obtida tem divergente nulo pontualmente. Aplicamos esta metodologia para as equações de Stokes, que necessitam da resolução de um sistema linear simetrico e inde nido do tipo ponto de sela. Dentre as estrategias mais bem sucedidas estão os metodos baseados em subespacos de Krylov, no caso, o método dos Resduos Mnimos. Para serem aplicados de maneira robusta e e ciente tais metodos carecem de estrategias de precondicionamento. Apresentamos uma estrategia de precondicionamento em bloco que permite a construção de precondicionadores espectralmente equivalentes para o problema de Stokes.
Abstract
In this work, we present a study on Isogeometric Analysis, a new discretization methodology that tries to connect Computer-Aided Design and Finite Element Analysis without resorting to mesh generation. This approach is based on spline functions. Those are piecewise polynomials with the additional property of having their smoothness easily controlled. Taking advantage of this, one can propose new discretization schemes tailored to preserve speci c properties. This is the case of the Divergence-conforming spline discretization that we also explore. Divergenceconforming spline discretization furnishes an inf-sup stable velocity-pressure pair that can be directly used to approximate viscous incompressible ow problems within mixed variational formulations. Additionally, this pair also guarantees a point-wise divergence-free discrete velocity. We apply it to the Stokes equations that consequently requires the solution of a symmetric and inde nite linear system of saddlepoint type. Such systems constitute a numerical challenging problem. Among the most successful attempts of solution are the Krylov subspace methods, in this case, the Minimum Residual method. To be robust and eciently applied, such methods require preconditioning strategies. We present a block-preconditioning strategy that allows the construction of spectrally equivalent preconditioners for the Stokes problem.
